Question

20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，则当a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$时，△ABC的周长为6．

Answer 1

分析 利用正弦定理将边化角即可得出A，再利用余弦定理和面积公式得出b，c的关系，从而可求出b，c，故可得出三角形的周长．

解答 解：∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，
化简可得：$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，∴A=60°．
当a=2时，△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，∴bc=4 ①．
再利用余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-3•4=4，
∴b+c=4 ②．
结合①②求得b=c=2．
∴a+b+c=6．
故答案为：6．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．