Question

15．将函数f（x）=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的x₁，x₂，总有|x₁-x₂|的最小值等于$\frac{π}{6}$，则φ=（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 利用三角函数的最值，求出自变量x₁，x₂的值，然后判断选项即可．

解答 解：因函数f（x）=cos2x的周期为π，将函数的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）的图象．
可得：g（x）=cos（2x-2φ），
若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{6}$，
不妨x₁=0，则：x₂=±$\frac{π}{6}$，即g（x）在x₂=±$\frac{π}{6}$，取得最小值，
由于，cos（2×$\frac{π}{6}$-2φ）=-1，此时φ=$\frac{2π}{3}$-kπ，k∈Z，不合题意0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
x₁=0，x₂=-$\frac{π}{6}$，g（x）在x₂=-$\frac{π}{6}$取得最小值，cos（2x-$\frac{π}{6}$）=-1，此时φ=$\frac{π}{3}$-kπ，k∈Z，
当φ=$\frac{π}{3}$满足题意．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．