Question

17．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份x	2006	2008	2010	2012	2014
需求量y（万吨）	240	255	260	265	280

（Ⅰ）求出线性相关系数r，并进行相关性检验；
（Ⅱ）如果x，y线性相关，利用所给数据求x，y之间的回归直线方程$y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求出的直线方程预测该地2015年的粮食需求量．
（参考公式：线性回归方程系数公式$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$，
线性相关系数公式$r=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sqrt{（\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}）（\sum_{i=1}^n{{y_i}^2-n{{\overline y}^2}}）}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sqrt{（\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}）（\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}）}}}}}$，
相关性检验临界值表：

P（K2≥k0）	小概率
	0.05	0.01
k0	0.878	0.959

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据所给的数据利用最小二乘法．公式计算得r，查表得r_0.01=0.959，最后得出需求量与年份两者之间存在线性相关关系．
（Ⅱ）写出线性回归方程的系数和a的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错；
（Ⅲ）将x=2015代入可预测该地2015年的粮食需求量．

解答 解：（Ⅰ）由已知中的数据可得：$\overline{x}$=2010，$\overline{y}$=260，
故r=$\frac{\sum _{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{（\sum _{i=1}^{5}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}）（\sum _{i=1}^{5}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}）}}$=$\frac{180}{10\sqrt{340}}$≈0.976；
查表得r_0.01=0.959，
∵0.976＞0.959，
∴需求量与年份两者之间存在线性相关关系．
（Ⅱ）由已知中的数据可得：$\widehat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{5}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{180}{40}$=$\frac{9}{2}$，
∴$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$=260-2010×$\frac{9}{2}$=-8785，
∴x，y之间的回归直线方程$\hat{y}$=$\frac{9}{2}$x-8785，
（Ⅲ）由（Ⅱ）中$\hat{y}$=$\frac{9}{2}$x-8785得：
当x=2015时，$\hat{y}$=282.5，
即预测该地2015年的粮食需求量约为282.5万吨．

点评 本题考查线性回归方程，是一个中档题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．