Question

5．已知抛物线的方程为y²=4x，它的焦点F是椭圆的一个焦点，它的顶点是椭圆的中心，且椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，点A（0，3）是椭圆外一点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点B是椭圆上一点，求线段AB中点P的轨迹方程；
（3）当直线AF与椭圆相交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．

Answer 1

分析 （1）利用焦点F是椭圆的一个焦点，它的顶点是椭圆的中心，且椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；
（2）利用代入法，求线段AB中点P的轨迹方程；
（3）当直线AF与椭圆相交于M，N两点，O为坐标原点，求出|y₁-y₂|，即可求△OMN的面积．

解答 解：（1）抛物线的方程为y²=4x，焦点为F（1，0），
∵焦点F是椭圆的一个焦点，它的顶点是椭圆的中心，且椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴c=1，a=$\sqrt{5}$，
∴b=2，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设AB中点P（x，y），B（m，n），则m+0=2x，n+3=2y，
∴m=2x，n=2y-3，
代入椭圆方程可得$\frac{（2x）^{2}}{5}+\frac{（2y-3）^{2}}{4}=1$，即$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{4}}+\frac{（y-\frac{3}{2}）^{2}}{1}=1$；
（3）直线AF的斜率k--3，方程为y=-3（x-1），即x=1-$\frac{y}{3}$，
代入椭圆方程得4（1-$\frac{y}{3}$）²+5y²=20，
即49y²-24y-144=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则|y₁-y₂|=$\frac{120\sqrt{2}}{49}$，
∴△OMN的面积S=$\frac{1}{2}•1•\frac{120\sqrt{2}}{49}$=$\frac{60\sqrt{2}}{49}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．