【题目】如图，
地到火车站共有两条路径，据统计两条路径所用的时间互不影响，所用时间在各时间段内的的频率如下表：
时间（分钟） |
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现甲、乙两人分别有
分钟和
分钟时间用于赶往火车站.
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用
表示甲、乙两人中在允许的时间内赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）甲应选择路径
，乙应选择路径
；（2）分布列见解析，
.
【解析】
（1）用
表示事件“甲选择路径
时，
分钟内赶到火车站”，
表示事件“乙选择路径时，
分钟内赶到火车站”，
、
，计算出
、
、
、
，并比较、的大小，、的大小，由此可得出结论；
（2）用
、
分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内搞到火车站，由（1）知
，
，可知随机变量
的可能取值有
、
、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的数学期望.
（1）用表示事件“甲选择路径时，分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，分钟内赶到火车站”，
用频率估计相应的概率，则有：
，
，
，所以甲应选择路径；
，
，
，所以乙应选择路径；
（2）用、分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内搞到火车站，
由（1）知，，且、相互独立.
由题意可知，随机变量的取值是、、，
，
，
.
所以的分布列如下表所示：
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所以，随机变量的数学期望为
.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题。
(1)求甲选手能晋级的概率；
(2)若乙选手每题能答对的概率都是
，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平。
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【题目】已知函数
（
为自然对数的底数），
是
的导函数.
（Ⅰ）当
时，求证
；
（Ⅱ）是否存在正整数
，使得
对一切
恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.
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【题目】2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是
，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.
（1）求该学生进入省队的概率.
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为
，求
的分布列及
的数学期望.
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【题目】在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于
两点，且设定点
，求
的值.
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【题目】三角形面积为
，
，
，
为三角形三边长，
为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ）
A. 
B. 
C. 
（
为四面体的高）
D. 
（其中
，
，
，
分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为
，则球心到四个面的距离都是）
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【题目】不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的中心在坐标原点
，其右焦点为
，以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）经过点
的直线
，
分别交椭圆于
，
及，
四点，且
，探究：是否存在常数
，使得
.
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