Question

函数f（x）=xsinx+cosx+x²，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式f（lnx）＜f（1）即为F|lnx|）＜f（1），
则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性，即可得到解集．

解答： 解：函数f（x）=xsinx+cosx+x²的导数为
f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
且f（-x）=xsinx+cos（-x）+（-x）²=f（x），
则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），
则不等式f（lnx）＜f（1）即为F|lnx|）＜f（1），
则|lnx|＜1，即-1＜lnx＜1，解得，

1

e

＜x＜e．
故答案为：（

1

e

，e）．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，考查导数的运用：判断单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题和易错题．