Question

【题目】设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2 ， 其中Sn为数列{an}的前n和．
（1）求证：an2=2Sn﹣an；
（2）求数列{an}的通项公式
（3）设bn=3n+（﹣1）n﹣1λ2 （λ为非零整数，n∈N*）试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）证明：由已知得，当n=1时，

∴a1＞0，∴a1=1

当n≥2时，a13+a23+a33+…+an3=Sn2，…①

a13+a23+a33+…+an﹣13=Sn﹣12，…②

①﹣②得 =an（sn+sn﹣1）

∵an＞0，∴

又∵sn﹣1=sn﹣an，∴an2=2Sn﹣an；

当n=1时，a1=1适合上式．

综上，an2=2Sn﹣an

（2）解：由（1）得an2=2Sn﹣an…③

当n≥2时，an﹣12=2Sn﹣1﹣an﹣1…④

③﹣④得 =2（sn﹣sn﹣1）﹣an+an﹣1=an+an﹣1

∵an＞0，∴an﹣an﹣1=1

∴数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．

∴an=n；

（3）解：∵an=n，∴bn=3n+（﹣1）n﹣1λ2 =3n+（﹣1）n﹣1λ2n．

要使bn+1＞bn成立．即 ﹣（﹣1）n﹣1λ2n

=23n﹣3λ（﹣1）n﹣12n＞0成立．

可得（﹣1）n﹣1λ 恒成立．

①当n为奇数时， ，即

②当n为偶数时， ，∴ ．

∴ ，且λ为非零整数，∴λ=﹣1．

【解析】(1）当n=1时可得a1的值，当n时，利用an=Sn-可得an2=2Sn﹣an；（2）当n时，利用an=Sn-和平方差公式可得数列{an}是等差数列，进而可得数列{an}的通项公式；（3）先由题意可得（﹣1）n﹣1λ < ( ) n 1 恒成立，再对n分奇数和偶数讨论，可得λ的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．