Question

【题目】若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1 ， x2且f（x1）=x1 ， 则关于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.不确定

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1 ， x2 ， 不妨设x1＜x2 ， ∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a2﹣12b＞0．解得x= ．
∵x1＜x2 ，
∴x1= ，x2= ．
而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x1或x2 ．
不妨取0＜x1＜x2 ， f（x1）＞0．
①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，
∵f（x1）=x1 ， 可知方程f（x）=x1有两解．
②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，
∵f（x1）=x1 ， ∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．
综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2 ． 只有3个实数解．
即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．
故选：B．

【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．