Question

【题目】设a≥0，f（x）=x﹣1﹣ln2x+2alnx（x＞0）． （Ⅰ）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据求导法则有 ， 故F（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x＞0，
于是 ，
∴知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，
所以，在x=2处取得极小值F（2）=2﹣2ln2+2a．
（Ⅱ）证明：由a≥0知，F（x）的极小值F（2）=2﹣2ln2+2a＞0．
于是知，对一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．
从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）内单调增加．
所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0．
故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．
【解析】（1）先根据求导法求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间及极值即可．（2）欲证x＞ln2x﹣2a ln x+1，即证x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0，也就是要证f（x）＞f（1），根据第一问的单调性即可证得．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．