Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，O是AC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆交AC于D，与AB切于E，若AD=2，AE=4，求BE的长．

Answer 1

分析：法一、由圆O与AB切于E，根据切割线定理，我们根据AD=2，AE=4，得到AC的值，进一步求出圆O的半径，连接OE后，易得△AEO∽△ACB，然后根据相似三角形的性质，我们不难得到BE的长．
法二、在求出AC的值后，设BE长为x，然后根据过圆外一点到圆的两条切线长相等，构造关于x的方程，然后解方程即可得到BE的长．

解答：解：法一：圆O与AB切于E，
由切割线定理得AE²=AD•AC，
∴AC=8
∵圆的半径OD=

1

2

(AC-AD)=3
连接OE，则OE⊥AB
∠AEO=∠ACB=90°
∠OAE=∠BAC
∴△AEO∽△ACB

AE

AO

=

AC

AB

∴AB=10
BE=AB-AE=6．

法二：圆O与AB切于E，
由切割线定理得AE²=AD•AC，
∴AC=8
∵BE，BC都是圆O的切线
∴BE=BC=x
在Rt△ABC中，BC²+AC²=AB²
∴x²+8²=（x+4）²
∴x=6
即BE=6．

点评：要求线段的长度，我们要先分析已知线段与待求线段之间的关系，在分析过程中要善于分析已知条件及已知条件中隐含的数量关系，然后根据分析过程，利用相似三角形的性质、与圆相关的比例线段等，列出相关的式子，进行求解．