Question

1．设函数f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₂₀₁₃（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³，
①求值：a₀+a₁+…+a₂₀₁₃
②求值：a₁+a₃+…+a₂₀₁₁+a₂₀₁₃
（2）当|x|≤1时，证明：f_n（x）+f_n（-x）≤2ⁿ（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，即可得出结论；
（2）用数学归纳法证明这个不等式，先验证n=2时成立，再假设n=k时成立，证明n=k+1时成立即可．

解答 （1）解：①n=1时，a₀+a₁+…+a₂₀₁₃=2²⁰¹³，
②n=-1时，a₀-a₁+…-a₂₀₁₃=0，
∴a₁+a₃+…+a₂₀₁₁+a₂₀₁₃=2²⁰¹²；
（2）证明：由于|x|≤1，n≥2，n∈N．
当n=1时，（1+x）+（1-x）=2，成立
假设n=k时成立，即（1+x）^k+（1-x）^k≤2^k成立
当n=k+1时，则：（1+x）^k+1+（1-x）^k+1=（1+x）^k×（1+x）+（1-x）^k×（1-x）=（1+x）^k+x（1+x）^k+（1-x）^k-x（1-x）^k≤2^k+x[（1+x）^k-（1-x）^k]
=2^k+x（2C_k¹x+2C_k³x³+…）=2^k+（2C_k¹+2C_k³+…）=2^k+2^k=2^k+1，
故当n=k+1时，不等式也成立
综上知：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ≤2ⁿ，其中|x|≤1，n∈N^*成立，
所以f_n（x）+f_n（-x）≤2ⁿ（n∈N^*）

点评 本题考查二项式系数和问题，考查用数学归纳法证明不等式，求解本问题的关键是掌握数学归纳法证明的原理，先证初始值成立，再假设n=k时成立，然后证n=k+1时成立．