Question

16．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+3{x}^{2}+1，x≤0}\\{-{x}^{2}+2ax-{a}^{2}+2a，x＞0}\end{array}\right.$在区间[-2，2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（-∞，1]∪[3+$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 运用导数，求得当x∈[-2，0]上的最大值为2； 欲使得函数f（x）在[-2，2]上的最大值为2，讨论f（x）在（0，2]上的最大值必须小于等于2，解不等式从而可得a的范围．

解答 解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x³+3x²+1，
可得f′（x）=6x²+6x，
由函数在[-1，0]上导数为负，在[-∞，-1]上导数为正，
故函数在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2；
要使函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+3{x}^{2}+1，x≤0}\\{-{x}^{2}+2ax-{a}^{2}+2a，x＞0}\end{array}\right.$在[-2，2]上的最大值为2，
则当x＞0时，f（x）=-（x-a）²+2a，对称轴为x=a，
当a≤0时，区间（0，2]为减区间，f（0）=2a≤0；
当0＜a＜2时，f（a）取得最大，且为2a≤2，解得0＜a≤1；
当a≥2时，区间（0，2]为增区间，f（2）=-4+6a-a²≤2，
解得a≥3+$\sqrt{3}$．
综上可得a的范围是a≥3+$\sqrt{3}$或a≤1．
故答案为：（-∞，1]∪[3+$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．