Question

4．给定两个长度为1的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它们的夹角为120°如图所示，点C在以O为圆心的圆弧$\overrightarrow{AB}$上变动．若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，则x+y的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 首先以O为原点，向量$\overrightarrow{OA}$的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，并设∠COA=θ，从而可写出A，B，C三点的坐标，从而根据条件$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$便可得到$（cosθ，sinθ）=（x-\frac{y}{2}，\frac{\sqrt{3}y}{2}）$，这样便可得到$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ+cosθ}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，根据两角和的正弦公式即可得到x+y=2sin（θ+30°），根据θ的范围即可得出x+y的最大值．

解答 解：如图，以O为坐标原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，则：
A（1，0），B（$-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），设∠AOC=θ，0°≤θ≤120°，∴C（cosθ，sinθ）；
∴$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}=（x，0）+（-\frac{y}{2}，\frac{\sqrt{3}y}{2}）$=$（x-\frac{y}{2}，\frac{\sqrt{3}y}{2}）=（cosθ，sinθ）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{y}{2}=cosθ}\\{\frac{\sqrt{3}y}{2}=sinθ}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ+cosθ}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$；
∴$x+y=\sqrt{3}sinθ+cosθ=2sin（θ+30°）$；
∵0°≤θ≤120°；
∴30°≤θ+30°≤150°；
∴θ+30°=90°，即θ=60°时x+y取最大值2．
故选B．

点评 考查建立平面直角坐标系利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数乘和加法运算，以及两角和的正弦公式，正弦函数的最大值．