Question

13．△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的值为（　　）

• A． -$\frac{3}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． -$\frac{6}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由已知等式先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．

解答 解：因为3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，
所以3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=-5$\overrightarrow{OC}$，
所以$9{\overrightarrow{OA}}^{2}+24\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+16{\overrightarrow{OB}}^{2}=25{\overrightarrow{OC}}^{2}$，
因为A，B，C在圆上，所以$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$．
代入原式得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
同理$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$-\frac{3}{5}$
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{5}$；
故选A．

点评 本题考查了平面向量在几何问题中的应用．要利用向量的三角形法则，将所求进行化归，从而将问题转化为数量积．