Question

18．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$是一个平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a$=（1，3）．
（1）若|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{10}$，$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，求$\overrightarrow c$及$\overrightarrow a•\overrightarrow c$；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，且$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$与2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的性质得到坐标的关系；$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}$=（λ，3λ），利用模求参数λ；
（2）利用已知向量垂直得到数量积为0，求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的数量积，利用数量积公式求夹角．

解答 解：（1）因为|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{10}$，$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，所以设$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}$=（λ，3λ），并且λ²+9λ²=40，解得λ=±2，
所以$\overrightarrow{c}$=（2，6）或者（-2，-6），
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=±20；
（2）因为|$\overrightarrow b$|=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，且$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$与2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$垂直，所以（$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$）（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=0，所以2${\overrightarrow{a}}^{2}-5\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，又$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=10，$|\overrightarrow{b}{|}^{2}=\frac{10}{4}$，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{2}$，
所以$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{10}×\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{1}{2}$，所以$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角60°．

点评 本题考查了平面向量平行和垂直的性质；向量数量积公式求向量夹角．