Question

8．已知tanα-tanβ=2tan²αtanβ，α，β≠$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），求$\frac{sin（2α+β）}{sinβ}$值．

Answer 1

分析 利用已知条件推出tanβ=$\frac{tanα}{2{tan}^{2}α+1}$，化简所求表达式，消去β，求解即可．

解答 解：∵tanα-tanβ=2tan²αtanβ，
∴移项得，tanα=tanβ（1+2tan²α），
可得：tanβ=$\frac{tanα}{2{tan}^{2}α+1}$
∵tan²α=sec²α-1=-1+$\frac{1}{{cos}^{2}α}$，
∴$\frac{sin（2α+β）}{sinβ}$=$\frac{sin2αcosβ+cos2αsinβ}{sinβ}$
=$\frac{sin2α（2{tan}^{2}α+1）}{tanα}+cos2α$
=4-2cos²α+2cos²α-1=3．

点评 本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．