Question

已知存在正实数a，b，c满足

1

e

≤

c

a

≤2，clnb+clna=a+clnc，则lnb的取值范围是（　　）

• A、[1，

  1

  2

  +ln2]
• B、[1，+∞）
• C、（-∞，e-1]
• D、[1，e-1]

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,对数的运算性质,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由clnb+clna=a+clnc化为lnb=

a

c

+ln

c

a

，可得．再利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答： 解：clnb+clna=a+clnc化为lnb=

a

c

+ln

c

a

，
令

c

a

=x，则lnb=f（x）=

1

x

+lnx，

1

e

≤

c

a

≤2，可得，．
f′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，令f′（x）=0，解得x=1．
当

1

e

≤x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当1＜x≤2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=1+ln1=1．
又f（2）=

1

2

+ln2，f（

1

e

）=e+ln

1

e

=e-1，
f（

1

e

）-f（2）=e-ln2-

3

2

＞e-lne-

3

2

=e-2.5＞0，
∴e-1＞

1

2

+ln2，
因此f（x）的最大值为e-1．
综上可得：f（x）∈[1，e-1]．
即lnb的取值范围是[1，e-1]．
故选：D．

点评：本题考查了经过变形把问题转化为利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．