Question

如图,四棱锥P—ABCD,面PAD⊥面ABCD,△PAD是等边三角形,底面ABCD是矩形,AB∶AD=∶1,F是AB的中点.

(1)求证:面PCD⊥面PAD;

(2)求PC与平面ABCD所成的角;

(3)求二面角PFCB的度数.

Answer 1

解：取AD的中点G,连结PG、CG.

(1)∵△ADP为正三角形,∴PG⊥AD.

又面PAD⊥面ABCD,AD为交线,∴PG⊥面ABCD.∴PG⊥CD.又AD⊥CD,

∴CD⊥面PAD.∴面PCD⊥面PAD.

(2)由(1)知PG⊥面ABCD,则∠PCG为PC与平面ABCD所成的角.

设AD=a,则PG=a,CD=a.

在Rt△GDC中,GC=.

在Rt△PGC中,tan∠PCG=.

∴∠PCG=30°,即PC与平面ABCD成30°角.

(3)连结GF,则GF=a.

而FC=a,

在△GFC中,GC²=GF²+FC²,∴GF⊥FC.连结PF,由PG⊥平面ABCD知PF⊥FC,则∠PFG即为二面角PFCD的平面角.在Rt△PFG中,PG=GF=a.

∴∠FPG=45°,二面角PFCB的度数为135°.