Question

18．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=2，BC=$\sqrt{6}$，∠CAB=120°，则∠AOB对应的劣弧长为（　　）

• A． π
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}π$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由正弦定理求出sin∠ACB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而∠AOB=$\frac{π}{2}$，进而OB=$\sqrt{2}$，由此能求出∠AOB对应的劣弧长．

解答 解：由正弦定理知：
$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{BC}{sin∠CAB}$，$\frac{2}{sin∠ACB}$=$\frac{\sqrt{6}}{sin120°}$，
∴sin∠ACB=$\frac{2sin120°}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$∠ACB=\frac{π}{4}$，
∴∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴OB=$\sqrt{2}$，
∴∠AOB对应的劣弧长：$\frac{1}{4}×2π×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故选：C．

点评 本题考查劣弧长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．