Question

已知椭圆E：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的上顶点为M（0，1），两条过M点动弦MA、MB满足MA⊥MB．
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面积的最大值为

27

8

，求a的值；
（3）对于给定的实数a（a＞1），动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用a表示）否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出坐标原点到椭圆E的准线距离最短时c=1，利用a²=b²+c²，即可求得椭圆E的方程；
（2）设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为y=-

1

k

x+1，分别代入椭圆E的方程，求得A、B的坐标，从而可求直角三角形MAB的面积，利用最大值为

27

8

，可求a的值；
（3）由（2）知直线l的斜率，从而可求直线l的方程，由此可得直线l过定点．

解答：解：（1）坐标原点到椭圆E的准线距离为d=

a2

c

=

c2+1

c

≥2，当且仅当c=1时，坐标原点到椭圆E的准线距离最短
∵c=1，b=1，∴a²=b²+c²，∴a²=2
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1
（2）由MA⊥MB，可知直线MA与坐标轴不垂直，
故可设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为y=-

1

k

x+1
将y=kx+1代入椭圆E的方程，整理得  （1+a²k²）x²+2a²kx=0
解得x=0或x=

-2a2k

1+a2k2

，故点A的坐标为(

-2a2k

1+a2k2

，

1-a2k2

1+a2k2

)
同理，点B的坐标为(

2a2k

k2+a2

，

k2-a2

k2+a2

)
∴S=

1

2

1+k2

2a2|k|

1+a2

×

1+ 1 k2

2a2|k|

k2+a2

=

2a4(k2+1)|k|

(1+a2k2)(k2+a2)

=2a4×

|k|+ 1 |k|

(1+a2k2)(1+ a2 k2 )

=2a4×

t

(1+a4)+a2(t2-2)

=

2a4

(1-2a2+a4) t +a2t

≤

2a4

2a(a2-1)

=

a3

a2-1

=

27

8

，
解得a=3
（3）由（2）知直线l的斜率为

k2-a2 k2+a2 - 1-a2k2 1+a2k2

2a2k k2+a2 - -2a2k 1+a2k2

=

k2-1

(a2+1)k

直线l的方程为y=

k2-1

(a2+1)k

(x-

2a2k

k2+a2

)+

k2-a2

k2+a2

，即y=

k2-1

(a2+1)k

x-

a2-1

a2+1

∴直线l过定点(0，-

a2-1

a2+1

)

点评：本题考查椭圆方程，考查三角形的面积，考查直线过定点，解题的关键是正确求出三角形的面积、直线的方程．