Question

已知函数f(x)=ax-lnx，g(x)=

lnx

x

+

1

2

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若?x₁∈[1，e]，?x₀∈[1，e]，f（x₁）=g（x₀），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax-lnx，知f′(x)=

ax-1

x

．再由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出f（x）的单调区间．
（2）当x∈[1，e）时，g′（x）=

1-lnx

x2

≥0，故g（x）在[1，e）上是增函数，所以g（x）∈[

1

2

，

1

e

+

1

2

]．设f（x），g（x0在[1，e]上的值域分别为A，B，由题意，得A⊆B，由此入手进行分类讨论，能够求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ax-lnx，∴f′(x)=

ax-1

x

．
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=

1

a

，当x∈（0，

1

a

]时，f′（x）≤0，此时f（x）为减函数；
当x∈[

1

a

，+∞）时，f′（x）≥0，此时f（x）为增函数．
∴当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的递减区间是（0，

1

a

]，递增区间是[

1

a

，+∞）．
（2）当x∈[1，e）时，g′（x）=

1-lnx

x2

≥0，
∴g（x）在[1，e）上是增函数，
∴g（x）∈[

1

2

，

1

e

+

1

2

]．
设f（x），g（x0在[1，e]上的值域分别为A，B，
由题意，得A⊆B，
当a≤0时，f（x）在[1，e]上是减函数，∴A=[ae-1，a]，此时a不存在；
当a＞0时，若

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

时，f（x）在[1，e]上是减函数，
∴A=[ae-1，a]，
∴

0＜a≤e ae-1≥ 1 2 a≤ 1 e + 1 2

，此时a不存在．
若1≤

1

a

＜e，即

1

e

＜a≤1时，
f（x）在[1，

1

a

]上是减函数，在[

1

a

，e]上是增函数．
∴f(x)min=f(

1

a

)=1+lna，
∴

1 e ＜a≤1 1+lna≥ 1 2 f(1)=a≤ 1 e + 1 2 f(e)=ae-1≤ 1 e + 1 2

，解得

1

e

≤a≤

1

e2

+

3

2e

．
若

1

a

＜1，即a＞1时，f（x）在[1，e]上是增函数，∴A=[a，ae-1]．
∴

a＞1 a≥ 1 2 ae-1≤ 1 e + 1 2

，此时a不存在．
综上，a∈[

1

e

，

1

e2

+

3

2e

]．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，计算繁琐，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．