Question

12．对实数a和b，定义运算“⊕”：a⊕b=$\left\{\begin{array}{l}a，a-b≤1\\ b，a-b＞1\end{array}$．若函数f（x）=（x²-2）⊕（x-x²）-c，x∈R有两个零点，则实数c的取值范围为$（{-∞，-2}]∪（{-1，-\frac{3}{4}}）$．

Answer 1

分析 化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=c的图象有2个交点，结合图象求得结果．

解答 解：当（x²-2）-（x-x²）≤1时，f（x）=x²-2，（-1≤x≤$\frac{3}{2}$），
当（x²-1）-（x-x²）＞1时，f（x）=x-x²，（x＞$\frac{3}{2}$或x＜-1），
函数y=f（x）的图象如图所示：

由图象得：要使函数y=f（x）-c恰有2个零点，只要函数f（x）与y=c的图形由2个交点即可，
所以：c∈$（{-∞，-2}]∪（{-1，-\frac{3}{4}}）$
故答案为：$（{-∞，-2}]∪（{-1，-\frac{3}{4}}）$．

点评 本题主要考查数形结合解决函数的零点个数问题，关键是正确画图、识图；体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．