Question

2．设x＞0，则$\frac{{{x^2}+x+3}}{x+1}$的最小值为2$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 可令t=x+1（t＞1），则$\frac{{{x^2}+x+3}}{x+1}$=$\frac{（t-1）^{2}+t-1+3}{t}$=t+$\frac{3}{t}$-1，再由基本不等式可得最小值．

解答 解：由x＞0，可得x+1＞1，
可令t=x+1（t＞1），
即x=t-1，
则$\frac{{{x^2}+x+3}}{x+1}$=$\frac{（t-1）^{2}+t-1+3}{t}$
=t+$\frac{3}{t}$-1≥2$\sqrt{t•\frac{3}{t}}$-1=2$\sqrt{3}$-1．
当且仅当t=$\sqrt{3}$，即x=$\sqrt{3}$-1，取得最小值．
故答案为：2$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查函数最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题．