Question

17．将一张纸沿直线l对折一次后，点A（0，4）与点B（8，0）重叠，点C（6，8）与点D（m，n）重叠．
（1）求直线l的方程；
（2）求m+n的值；
（3）直线l上是否存在一点P，使得||PB|-|PC||存在最大值，如果存在，请求出最大值，以及此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设线段AB的中点为N，则点N（4，2），且$\overrightarrow{AB}=（{8，-4}）$，即可求出直线l的方程；
（2）求出直线CD的方程，可得直线CD与直线l的交点坐标，即可求m+n的值；
（3）假设直线l上存在点P，利用||PB|-|PC||=||PA|-|PC||≥|AC|，得出结论．

解答 解：（1）设线段AB的中点为N，则点N（4，2），且$\overrightarrow{AB}=（{8，-4}）$…（2分）
则直线l的方程为2x-y-6=0…（5分）
（2）设直线CD的方程为x+2y+C'=0…（6分）
∵C（6，8）在直线CD上，∴C'=-22，则直线CD的方程为x+2y-22=0…（7分）
设直线CD与直线l的交点为M，$\left\{\begin{array}{l}2x-y-6=0\\ x+2y-22=0\end{array}\right.$$⇒M（{\frac{34}{5}，\frac{38}{5}}）$…（9分）
则$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{38}{5}\\ n=\frac{36}{5}\end{array}\right.$，∴$m+n=\frac{74}{5}$…（11分）
（3）假设直线l上存在点P，
∵||PB|-|PC||=||PA|-|PC||≥|AC|…（12分）
当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立…（13分）
直线AC的方程为2x-3y+12=0…（14分）
∴P（7.5，9），最大值为2$\sqrt{13}$…（15分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．