Question

9．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm²，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm．
（1）设矩形栏目宽度为xcm，求矩形广告面积S（x）的表达式
（2）怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

Answer 1

分析 （1）设矩形栏目宽度为xcm，高为$\frac{9000}{x}cm$，利用两栏的面积之和为18000cm²，建立方程，即可写出矩形广告面积S（x）的表达式；
（2）根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值．根据等号成立的条件确定广告的高和宽．

解答 解：（1）设矩形栏目宽度为xcm，高为$\frac{9000}{x}cm$…（2分）
$S（x）=（2x+25）（\frac{9000}{x}+20）$…（4分）
（2）根据题意得：
$\begin{array}{l}S（x）=（2x+25）（\frac{9000}{x}+20）=18000+40x+\frac{25×9000}{x}+500\\≥18000+2\sqrt{40×25×9000}+500=24500\end{array}$（3分）
等号成立的条件是：x=75，y=120…（2分）
答：当广告的高为75cm，宽为120cm时，矩形广告的面积最小．…（1分）

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练．