Question

13．设S_n为数列{a_n}的前项和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，则数列{na_n}的前n项和为（n-1）×2ⁿ+1．n∈N⁺．

Answer 1

分析 利用递推式与等比数列的通项公式可得a_n；利用“错位相减法”、等比数列前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N^*．
令n=1得a₁=1，令n=2得a₂=2．
当n≥2时，由2a_n-1=S_n，2a_n-1-1=S_n-1，两式相减得a_n=2a_n-1，
 又a₁≠0，则a_n≠0，
 于是数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴通项公式a_n=2^n-1；
∴na_n=n•2^n-1，
T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，
2T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n×2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1．n∈N⁺．
故答案是：（n-1）×2ⁿ+1．n∈N⁺．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．