Question

16．已知0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π，且cos（α-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则cos（α+β）的值为-1．

Answer 1

分析 先求出角的范围，即可求出α-$\frac{β}{2}$=$\frac{3π}{4}$，$\frac{α}{2}$-β=$\frac{π}{4}$，即可求出α+β=π，问题得以解决．

解答 解：∵0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴$\frac{π}{4}$＜α-$\frac{β}{2}$＜π，-$\frac{π}{4}$＜$\frac{α}{2}$-β＜$\frac{π}{2}$
∵cos（α-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴α-$\frac{β}{2}$=$\frac{3π}{4}$，$\frac{α}{2}$-β=$\frac{π}{4}$，
∴α-$\frac{β}{2}$-（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$=$\frac{π}{2}$
∴α+β=π，
∴cos（α+β）=-1，
故答案为：-1

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值．关键是掌握角的范围．属于基础题．