Question

11．已知函数f（x）=e^x-mx²-2x
（1）若m=0，讨论f（x）的单调性；
（2）若x∈[0，+∞）时，f（x）＞$\frac{e}{2}$-1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=0时，f′（x）=e^x-2，由此利用导数性质能讨论f（x）的单调性．
（2）原不等式等价于${e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1＞m{x}^{2}$恒成立．当x=0时，对于任意m都成立，当x≠0时，m＜$\frac{{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1}{{x}^{2}}$恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1}{{x}^{2}}$，则${g}^{'}（x）=\frac{（x-2）{e}^{x}+2x+e-2}{{x}^{3}}$，令h（x）=（x-2）e^x+2x+e-2，则h′（x）=（x-1）e^x+2，由此利用导数性质能求出m的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）当m=0时，f（x）=e^x-2x．
f′（x）=e^x-2，令f′（x）＞0，得x＞ln2．
令f′（x）＜0，得x＜lnx，
∴f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．…（4分）
（2）∵x∈[0，+∞）时，f（x）＞$\frac{e}{2}$-1恒成立，
∴${e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1＞m{x}^{2}$恒成立．
当x=0时，对于任意m都成立，…（5分）
当x≠0时，即m＜$\frac{{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1}{{x}^{2}}$恒成立．…（6分）
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1}{{x}^{2}}$，则${g}^{'}（x）=\frac{（{e}^{x}-2）{x}^{2}-2x（{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1）}{{x}^{4}}$，
整理得${g}^{'}（x）=\frac{（x-2）{e}^{x}+2x+e-2}{{x}^{3}}$，…（8分）
令h（x）=（x-2）e^x+2x+e-2，注意到h（1）=0，
h′（x）=（x-1）e^x+2，h′（x）=xe^x＞0，
故知h′（x）在（0，+∞）单调递增，h′（x）＞h′（0）=1＞0．
故知h（x）在（0，+∞）单调递增，又h（1）=0．  …（10分）
故知h（x）在（0，1）上为负，（1，+∞）上为正．
故知g（x）（0，1）上递减，（1，+∞）上递增．
故$g（x）_{min}=g（1）=\frac{e-2-\frac{e}{2}+1}{1}=\frac{e}{2}-1$，
故m＜$\frac{e}{2}-1$．…（12分）

点评 本题考查函数的单调性质的讨论，考查实数的取值范围的求法，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．