Question

已知函数f（x）=1+

1

x

，
（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）直接根据函数单调性的定义证明即可；
（Ⅱ）根据（1），函数的单调性进行求解最大值和最小值即可．

解答： （1）证明：在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1•x2

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴故f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）由（1）知，
∵f（x）在[1，4]上是减函数，
∴当x=1时，有最大值2；
当x=4时，有最小值

5

4

．

点评：本题重点考查了函数的单调性的证明及求解最值中的应用，属于中档题．