Question

2．（1）已知0＜x₁＜x₂，求证：$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}＞\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（2）已知f（x）=lg（x+1）-$\frac{1}{2}$log₃x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n²-214n-1998）≥0，n∈Z}的子集个数．

Answer 1

分析 （1）使用分析法证明；
（2）设0＜x₁＜x₂，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x₁）-f（x₂）判断其符号，得出结论；
（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．

解答 （1）证明：∵x₂+1＞0，x₂＞0，
欲证：$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}＞\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
只需证：x₂（x₁+1）＞x₁（x₂+1），
即证：x₁x₂+x₂＞x₁x₂+x₁，
只需证：x₂＞x₁，
显然x₂＞x₁成立，
∴$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}＞\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．
（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．
设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=lg（x₁+1）-lg（x₂+1）+$\frac{1}{2}$log₃x₂-$\frac{1}{2}$log₃x₁
=lg$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$+$\frac{1}{2}$log₃$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=lg$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$-log₉$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$＜1，∴lg$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$＞log₉$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$＞log₉ $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=lg$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$-log₉$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞log₉$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-log₉$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=0．
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．
（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，
∵f（n²-214n-1998）≥0，
∴0＜n²-214n-1998≤9．
∴13447＜（n-107）²≤13456．
∵115＜$\sqrt{13447}$＜116，$\sqrt{13456}$=116，n∈Z，
∴n-107=116或n-107=-116．
∴集合M有两个元素．
∴集合M有4个子集．

点评 本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．