Question

14．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则该四棱锥的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{32\sqrt{2}}{3}$π
• D． $\frac{64\sqrt{2}}{3}π$

Answer 1

分析 设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接球的体积．

解答 解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，
由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．
则AB=$\sqrt{2}$r，
四棱锥的体积为$\frac{1}{3}×（\sqrt{2}r）^{2}×r$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得r=$\sqrt{2}$，
四棱锥的外接球的体积为：V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
故选：B．

点评 本题考查四棱锥SABCD的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．