Question

5．设函数f（x）=（ax+1）e^-x（a∈R）
（Ⅰ）当a＞0时，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，当a＞0时，令f′（x）＞0，解得函数的单调递增区间；
（Ⅱ）x∈[0，+∞），由题意可知将f（x）≤x+1恒成立，转化为a≤e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x∈[0，+∞）恒成立，构造辅助函数F（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，求导，F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，由在x=0处极限，$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=1，可求得F（x）的最小值，求得a的取值范围；

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（ax+1）e^-x（a∈R）定义域为R，
∴f′（x）=e^-x（-ax+a-1），
令f′（x）=0，解得：x=1-$\frac{1}{a}$，
f′（x）＞0，解得x＜1-$\frac{1}{a}$，
∴当a＞0时，求f（x）的单调递增区间；（-∞，1-$\frac{1}{a}$）；
（Ⅱ）由x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，即（ax+1）e^-x≤x+1，可转化为a≤e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x∈[0，+∞）恒成立，
设F（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，则g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=（x-1）e^x+1，则h′（x）=e^x+e^x（x-1）=xe^x，
当x＞0时，h′（x）=xe^x＞0，
∴h（x）是上的增函数，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴g′（x）=$\frac{h（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即函数g（x）是（0，+∞）上的增函数．
∴F（x）在（0，+∞）上的增函数．
F（x）在x=0处取最小值，即$\underset{lim}{x→0}$（e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$）=1+$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
由洛必达法则可知：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=1，
故F（x）的最小值为2，
∴a≤2，
实数a的取值范围（-∞，+2]．

点评 本题考查了利用导数研究闭在区间上函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查利用洛必达法则求极限问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．