Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，0），$\overrightarrow{b}$=（-5，5），$\overrightarrow{c}$=（2，k）
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）若$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{c}$，求k的值；
（3）若$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算和向量的夹角公式即可求出，
（2）根据向量的平行的条件得到-5k=5×2，解得即可，
（3）根据向量的垂直的条件得到-5×5+5k=0，解得即可．

解答 解：（1）设向量向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵$\overrightarrow{a}$=（3，0），$\overrightarrow{b}$=（-5，5），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3×（-5）+0×5=-15，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{0}^{2}}$=3，|$\overrightarrow{b}$|=5$\sqrt{2}$
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-15}{3×5\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{3}{4}π$
（2）∵$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{c}$，
∴-5k=5×2，
∴k=-2
（3）∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=（5，k），
又$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），
∴$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）=0，
∴-5×5+5k=0，
∴k=5

点评 本题考查了向量的夹角公式和向量的垂直和平行的条件，属于基础题．