Question

4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B是钝角，且$\sqrt{3}$a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若△ABC的面积为$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，且b=7，求a+c的值；
（3）若b=6，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可得$\sqrt{3}sinA=2sinBsinA$，结合sinA≠0，可求sinB，结合B是钝角，即可得解B的值．
（2）由已知利用三角形面积公式可求ac=15，利用余弦定理即可得解a+c=8．
（3）由余弦定理，基本不等式可得36=a²+c²+ac≥2ac+ac，解得ac≤12，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为16分）
解：（1）∵$\sqrt{3}a=2bsinA$，
∴利用正弦定理可得：$\sqrt{3}sinA=2sinBsinA$，又sinA≠0，
∴可得：$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵B是钝角，
∴$B=\frac{2}{3}π$．…（4分）
（2）∵$\frac{1}{2}acsinB=\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$．
∴可得：ac=15，
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴49=（a+c）²-ac，
∴a+c=8．…（10分）
（3）∵b²=a²+c²-2accosB，
∴36=a²+c²+ac≥2ac+ac，
∴ac≤12，
∴$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac≤3\sqrt{3}$，（当且仅当$a=c=2\sqrt{3}$时面积取最大值$3\sqrt{3}$）． …（16分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．