Question

【题目】已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxex（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），g′（x）为g（x）的导函数，且g′（0）=1，
（1）求k的值；
（2）对任意x＞0，证明：f（x）＜g（x）；
（3）若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

【答案】解：（1）g'（x）=k（x+1）ex所以g'（0）=k=1
（2）证明：令G（x）=ex﹣x﹣1，G′（x）=ex﹣1，当x∈（0，+∞），G′（x）＞0，
所以当x∈（0，+∞）时G（x）单调递增，从而有G（x）＞G（0）=0，x＞0；
所以ex＞x+1＞0x＞ln（x+1）＞0，
∴xex＞（x+1）ln（x+1），
所以当x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）；
（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，
则h′（x）=1﹣a+ln（x+1），令h′（x）=0，解得x=ea﹣1﹣1，
（i）当a≤1时，所以x=ea﹣1﹣1＜0，从而对所有x＞0，h′（x）＞0；h（x）在[0，+∞）上是增函数．
故有x＞0，h（x）＞h（0）=0
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）当a＞1时，对于0＜x＜ea﹣1﹣1，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，ea﹣1﹣1）上是减函数，所以对于0＜x＜ea﹣1﹣1有h（x）＜h（0）=0，
即f（x）＜ax，
所以，当a＞1，不是所有的x≥0都有f（x）≥ax成立，
综上，a的取值范围是（﹣∞，1]
【解析】（1）先求导，再代入值计算即可；
（2）构造函数G（x），根据函数的单调性，即可证明；
（3）构造函数令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，求导，再分类讨论，即可求出a的取值范围．