Question

已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1）．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③

AP

是平面ABCD的法向量；④

AP

∥

BD

．其中正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直

专题：平面向量及应用

分析：利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出．

解答： 解：∵

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1）．
①

AP

•

AB

=-2-2+4=0，∴

AP

⊥

AB

，∴①正确；
②

AP

•

AD

=-4+4+0=0，∴

AP

⊥

AD

，∴②正确；
③由②可知：

AP

是平面ABCD的法向量，因此正确；
④

BD

=

AD

-

AB

=（2，3，4），假设存在λ使得

AP

=λ

BD

，则

-1=2λ 2=3λ -1=4λ

，无解，
∴

AP

∥

BD

不正确；
综上可得：①②③正确．
故选：C．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、线面垂直的判定定理，属于基础题．