Question

已知函数f（x）=|x-3|+|x-a|，g（x）=x³+1，若函数y=f（g（x））的图象为轴对称图形，则实数a的值可能是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意，化简y=f（g（x））=|x³+1-3|+|x³+1-a|=|x³-2|+|x³+1-a|，讨论a的取值以去绝对值号，从而确定对称轴的可能取值，再取点检验，最后再判断即可．

解答： 解：y=f（g（x））=|x³+1-3|+|x³+1-a|
=|x³-2|+|x³+1-a|，
当1-a=-2，即a=3时，
y=2|x³-2|不是轴对称图形，
当1-a＜-2；即a＞3时，
由y=

1+a-2x3，x＜ 3 2 a-3， 3 2 ≤x≤ 3 a-1 2x3-1-a，x＞ 3 a-1

；
若存在对称轴，则对称轴应为x=

3 2 + 3 a-1

2

；
而令y=1+a解得，x=0或x=

3	a+1

；
则

3	a+1

=

3	2

+

3	a-1

；
即

3	a+1

-

3	a-1

=

3	2

；
∵a＞3；
∴

3	a+1

-

3	a-1

＜

3	2

；
故不成立；
当1-a＞-2；即a＜3时，
由y=

1+a-2x3，x＜ 3 a-1 3-a， 3 a-1 ≤x≤ 3 2 2x3-1-a，x＞ 3 2

；
若存在对称轴，则对称轴应为x=

3 2 + 3 a-1

2

；
而令y=1+a解得，x=0或x=

3	a+1

；
则

3	a+1

=

3	2

+

3	a-1

；
即

3	a+1

-

3	a-1

=

3	2

；
∵a＜3；
∴当a=1或a=-1时，等号成立；
经检验，当a=1时，y=f（g（x））=|x³-2|+|x³|不对称，
当a=-1时，y=f（g（x））=|x³-2|+|x³+2|对称；


故答案为：-1．

点评：本题考查了图象的对称性的应用，考查了学生分类讨论的应用及作图能力，属于中档题．