Question

已知直线l：y=kx-2与抛物线 C：x²=-2py（p＞0）交于A、B两点，O为坐标原点 

OA

+

OB

=（-4，-12）．
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求点P到直线l的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由

y=kx-2 x2=-2py

得，x²+2pkx-4p=0，可得根与系数的关系、再利用向量坐标运算即可得出；
（2）设与直线AB平行且与抛物线相切于点P（x₀，y₀），由x²=-2y可得y′=-x，利用-x₀=2，可得P（-2，-2）．再利用点到直线的距离公式即可得出点P到直线AB的最大距离．

解答： 解：（1）由

y=kx-2 x2=-2py

得，x²+2pkx-4p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4，
∴

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（-2pk，-2pk²-4）=（-4，-12）．
∴

-2pk=-4 -2pk2-4=-12

，
解得

p=1 k=2

．
∴直线l的方程为y=2x-2，抛物线C的方程为x²=-2y．
（2）设与直线AB平行且与抛物线相切于点P（x₀，y₀），
由x²=-2y可得y′=-x，
∴-x₀=2，
解得x₀=-2，∴（-2）²=-2×y₀．解得y₀=-2，
∴P（-2，-2）．
点P到直线AB的最大距离d=

|-2×(-2)+2-2|

5

=

4 5

5

．

点评：本题考查了直线与抛物线相交于相切的位置公式、导数的几何意义、一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．