Question

某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需量q万千克近似地满足关系：p=2（x+4t-14），（x≥16，t≥0），q=24+8ln

20

x

，（16≤x≤24）．当p=q市场价格称为市场平衡价格．
（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；
（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件建立函数关系即可求出函数的值域；
（2）根据函数的解析式解不等式即可．

解答： 解：（1）由P=Q得2（x+4t-14 ）=24+8ln

20

x

（16≤x≤24，t＞0）．t=

13

2

-

1

4

x+ln

20

x

（16≤x≤24）． 3分
∵t′=-

1

4

-

1

x

＜0，∴t是x的减函数．
∴t_min=

13

2

-

1

4

×24+ln

20

24

=

1

2

+ln

20

24

=

1

2

+ln

5

6

；5分
t_max=

13

2

-

1

4

×16+ln

20

16

=

5

2

+ln

5

4

，
∴值域为[

1

2

+ln

5

6

，

5

2

+ln

5

4

]7
（2）由（1）t=

13

2

-

1

4

x+ln

20

x

（16≤x≤24）．
而x=20时，t=

13

2

-

1

4

×20+ln

20

20

=1.5（元/千克） 9分
∵t是x的减函数．欲使x≤20，必须t≥1.5（元/千克）
要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克．  2分

点评：本题主要考查函数的应用问题，解决的关键是能利用导数的工具性作用来判定函数单调性，进而得到函数的最值，属于中档题，易错点就是对于表达式的准确表示．