Question

已知f（x）=-

4+ 1 x2

，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+（4n+1）（4n-3），问：当b₁为何值时，数列{b_n}是等差数列．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步构造型数列求出关系式，最后确定结果．

解答： 解：（1）已知f（x）=-

4+ 1 x2

，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上（n∈N^*），
则：-

1

an+1

=-

4+ 1 an2

所以：

1

an+12

-

1

an2

=4
即：数列{

1

an2

}是以

1

a12

为首项，4位公差的等差数列．

1

an2

=

1

an2

+4(n-1)
且a₁=1，a_n＞0．
则：an=

1

4n-3

（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+（4n+1）（4n-3），
所以：（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3），

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1
设：

Tn

4n-3

=cn
则：c_n+1-c_n=1
由于数列{b_n}是等差数列．
所以：

Tn

4n-3

=

T1

1

+(n-1)
T_n=（4n-3）[n+（b₁-1）]=An²+Bn（A，B≠0）时，数列为等差数列．
解得：T_n=（4n-3）[n+（b-1）]
=4n²+（4b₁-7）n+3（b₁-1）
进一步解得：b₁=1

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，构造新数列求数列的通项公式，属于中等题型．