Question

已知f（x）=sin²x+asinx+a-

3

a

，a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若对任意x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由题意可得函数g（t）=(t+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 在[-1，1]上恒成立，故有

g(-1)=1- 3 a ≤0 g(1)=1+2a- 3 a ≤0

，由此求得a的范围．
（Ⅱ）若a≥2，则-

a

2

≤-1，g（t）=(t+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 在[-1，1]上是增函数，再根据g（t）的最小值g（-1）≤0，求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）对任意x∈R，f（x）=sin²x+asinx+a-

3

a

=(sinx+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 恒成立，
则函数g（t）=(t+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 在[-1，1]上恒成立，故有

g(-1)=1- 3 a ≤0 g(1)=1+2a- 3 a ≤0

，
即

0＜a≤3 2a2+a-3≤0

，求得0＜a≤1．
（Ⅱ）若a≥2，则-

a

2

≤-1，且存在x∈R，使得f（x）≤0，则g（t）=(t+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 在[-1，1]上是增函数，
故有g（-1）=1-

3

a

≤0，求得0＜a≤3，综合可得，2≤a≤3．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质，属于基础题．