Question

13．已知x₁，x₂是方程e^-x+2=|lnx|的两个解，则（　　）

• A． 0＜x₁x₂＜$\frac{1}{e}$
• B． $\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1
• C． 1＜x₁x₂＜e
• D． x₁x₂＞e

Answer 1

分析 利用函数与方程的关系，将方程转化为两个函数的交点问题，结合对数函数的和指数函数的图象和性质，进行推理即可．

解答 解：设y=e^-x+2，y=|lnx|，
分别作出两个函数的图象如图：
不妨设x₁＜x₂，
则由图象知0＜x₁＜1，x₂＞1，
则${e}^{-{x}_{1}}$+2=|lnx₁|=-lnx₁，
${e}^{{-x}_{2}}$+2=|lnx₂|=lnx₂，
两式相减得${e}^{{-x}_{2}}$-${e}^{-{x}_{1}}$=lnx₂+lnx₁=ln（x₁x₂）
∵y=e^-x为减函数，
∴${e}^{{-x}_{2}}$＜${e}^{-{x}_{1}}$，即${e}^{{-x}_{2}}$-${e}^{-{x}_{1}}$=ln（x₁x₂）＜0，
则0＜x₁x₂＜1，
∵2＜lnx₂＜-lnx₁＜3，
∴-3＜lnx₁＜-2，可得$\frac{1}{{e}^{3}}$＜x₁＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，
e²＜x₂＜e³，
则$\frac{1}{{e}^{3}}$•e²＜x₁x₂＜$\frac{1}{{e}^{2}}$•e³，
即$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜e，
∵0＜x₁x₂＜1，
综上$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1；
故选：B．

点评 本题主要考查函数零点的概念，函数零点和方程解的关系，方程f（x）=g（x）的解和函数f（x）与g（x）交点的关系，对数的运算，以及对数函数的单调性．利用数形结合结合对数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．