Question

12．已知F₁，F₂为双曲线C的左右焦点，过F₁的直线分别交C的左右两支于A，B两点，若△AF₂B为等腰直角三角形，且∠AF₂B=90°，那么C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据题设条件，利用双曲线的定义，推导出|BF₁|=（2$\sqrt{2}$+2）a，|BF₂|=2$\sqrt{2}$a，再利用余弦定理确定a和c的关系式，由此能求出结果．

解答 解：∵过F₁的直线l与双曲线的左支相交于A、B两点，△AF₂B为等腰直角三角形，且∠AF₂B=90°，
∴设|BF₂|=|AF₂|=x，
∴|AF₁|=x-2a，
∴|BF₁|=x-2a+$\sqrt{2}$x，
∴|BF₁|-|BF₂|=-2a+$\sqrt{2}$x=2a，∴x=2$\sqrt{2}$a
∴|BF₁|=（2$\sqrt{2}$+2）a，|BF₂|=2$\sqrt{2}$a
由余弦定理可得4c²=[（2$\sqrt{2}$+2）a]²+（2$\sqrt{2}$a）²-2×[（2$\sqrt{2}$+2）a]×2$\sqrt{2}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c²=3a²，
∴e=$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的平方的求法，解题时要熟练掌握双曲线的性质，注意数形结合思想的合理运用．