Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n]的通项公式；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整数n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*），变形为a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₂-a₁=3，利用等比数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得an+1-an=3×2n-1，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，及其等比数列的前n项和公式即可得出．
（3）由an=3×2n-1-2，利用被盯上了的前n项和公式可得S_n=3×2ⁿ-2n-3，由S_n＞21-2n化为2ⁿ＞8，解得n即可．

解答： （1）证明：∵a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*），变形为a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₂-a₁=3，
∴数列{a_n+1-a_n}为等比数列，首项为3，公比为2；
（2）解：由（1）可得an+1-an=3×2n-1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=3（2^n-2+2^n-3+…+1）+1=3×

2n-1-1

2-1

+1=3×2^n-1-2，
当n=1时也满足，
∴an=3×2n-1-2．
（3）解：∵an=3×2n-1-2，
∴S_n=

3×(2n-1)

2-1

-2n=3×2ⁿ-2n-3，
由S_n＞21-2n化为2ⁿ＞8，解得n＞3，
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整数n=4．

点评：本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法、“累加求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．