Question

设实数x，y满足

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

求：
（1）z=x²+y²的取值范围；
（2）z=

x+y

x

的取值范围．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，对应的平面区域，（1）利用x²+y²的几何意义：动点P（x，y）到原点距离的平方，即可求最小值．
（2）化简所求表达式为直线的斜率的形式，求出斜率的范围即可．

解答： 解：（1）设z=x²+y²，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．
作出不等式组

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

对应的平面区域如图：
由图象可知

x-y-2=0 y-2=0

，解得

x=4 y=2

，
即点C（4，2）到原点的距离最大，
原点到直线

x+2y-5=0 y-2=0

的交点的距离最小．
解得

x=1 y=2

，即B点（1，2）距离最小，
距离平方的最小值为：1²+2²=5．
距离平方的最大值为：2²+4²=20．
z=x²+y²的取值范围[5，20]．
（2）z=

x+y

x

=1+

y

x

，表达式的几何意义是：可行域内的点与原点连线的斜率加1，

x-y-2=0 x+2y-5=0

，解得：

x=3 y=1

，A（3，1）．
由图象可知：k_OB=

2-1

1-0

=2，k_AO=

1-0

3-0

=

1

3

，
所以z的范围为：[

4

3

，3]．

点评：本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．