Question

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ） 证明：AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求二面角A-VD-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，又AB在平面ABCD内，AD⊥AB，即可证明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．依题意设AB=AD=AV=1，可求BV=BD=

2

．设VD的中点为E，连结AE、BE，则AE⊥VD，BE⊥VD，可得∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角．又AE=

3

2

，BE=

7

2

，从而可求cos∠AEB的值．

解答： 解：（Ⅰ）因为平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，
又AB在平面ABCD内，AD⊥AB，
所以AB⊥平面VAD．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．依题意设AB=AD=AV=1，
所以BV=BD=

2

．…（6分）
设VD的中点为E，连结AE、BE，则AE⊥VD，BE⊥VD，
所以∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角．…（9分）
又AE=

3

2

，BE=

7

2

，
所以cos∠AEB=

3 4 + 7 4 -1

2× 3 2 × 7 2

=

21

7

．…（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，二面角的余弦值的求法，正确作出并证明二面角的平面角是解题的关键，属于中档题．