Question

已知平面内三点A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的坐标运算和同角的平方关系，可得2sinαcosα=-

5

9

，再由二倍角正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，将所求式化简整理即可得到．

解答： 解：由A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
则

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
若

AC

•

BC

=-1，则cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
即cos²α+sin²α-3（sinα+cosα）=-1，
即sinα+cosα=

2

3

，
两边平方，可得sin²α+cos²α+2sinαcosα=

4

9

，
即2sinαcosα=

4

9

-1=-

5

9

，
则

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sin2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

cosα+sinα

=2sinαcosα=-

5

9

．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查二倍角的正弦公式以及同角的平方关系和商数关系，考查运算能力，属于基础题．