Question

已知一点A和平面a，求证：经过点A只能有一条直线和平面a垂直．

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：当点A在平面α内．假设经过点A至少有平面α的两条垂线，由此推导出在平面内经过A有两条垂线都和直线a垂直，这不成立；点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC，在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，也不成立．由此能证明经过一点A只能有平面α的一条垂线．

解答： 证明：根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．①如图（1）所示，点A在平面α内．
假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，
那么AB、AC是两条相交直线，
它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a．
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，
所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过A有两条垂线都和直线a垂直，
这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
②如图（2）所示，点A在平面α外，
假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC（B、C为垂足），
那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，
平面β和平面α相交于直线BC．
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC．
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，
与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．

点评：本题考查经过点A只能有一条直线和平面a垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．