Question

已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集A满足[1，2]⊆A，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）去掉绝对值，化简f（x）的解析式，分类讨论求得不等式f（x）≥5的解集．
（2）由题意可得当x∈[1，2]时，f（x）≤|x-4|恒成立，即|x+a|≤2恒成立，即-2-x≤a≤2-x恒成立，从而求得a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，函数f（x）=|x+1|+|x-2|=

2x-1，x≥2 3，-1＜x＜2 -2x+1，x≤-1

，
对于等式f（x）≥5，
当x≥2时，由2x-1≥5，求得x≥3；
当-1＜x＜2时，由3≥5，解得不等式无解；
当x≤-1时，由-2x+1≥5，解得x≤-2．
综上可得，不等式f（x）≥5的解集为{x|x≥3或x≤-2}．
（2）f（x）≤|x-4|的解集A满足[1，2]⊆A，等价于当x∈[1，2]时，f（x）≤|x-4|恒成立．
由于当x∈[1，2]时，|x+a|+2-x≤4-x恒成立，
即当x∈[1，2]时，|x+a|≤2恒成立，即-2≤x+a≤2恒成立，-2-x≤a≤2-x恒成立，
故-3≤a≤0．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．