Question

已知向量

m

=(2cosx，sinx)，

n

=(cosx，2

3

cosx)（x∈R），设函数f（x）=

m

•

n

-1．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=

π

4

，边AB=3，求边BC．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：利用向量的数量积求出函数的解析式并化简三角函数式，利用三角函数的性质解得本题．

解答： 解：由已知得到函数f（x）=

m

•

n

-1=2cos²x+2

3

sinxcosx-1
=cos2x+

3

sin2x
=2cos（2x-

π

3

）；
所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x-

π

3

）∈[2kπ-π，2kπ]，即x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A-

π

3

）=2，所以A=

π

6

，又B=

π

4

，边AB=3，
所以由正弦定理得

BC

sinA

=

AB

sinC

，即

BC

sin π 6

=

3

sin 7π 12

，解得BC=

3( 6 - 2 )

2

．

点评：本题考查了向量的数量积公式、三角函数式的化简以及三角函数性质和解三角形，属于中档题．